?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Математический оффтоп

Наверное вы удивитесь, я но я сегодня про математику. Решил упорядочить для себя идеи, какие бывают большие числа в математике.

Понятно, что размер числа ограничивается возможностью его записать, Если писать число в десятичном виде, то число с десятью триллионов нулей займет один жесткий диск. А для числа с 1080 нулей придется использоваться все атомы вселенной. Но приближенно записать мы его можем <- вот я только что это сделал. Получается что есть как минимум две категории больших чисел - которые можно записать точно, и можно приближенно. Но есть и следующая категория, числа которые нельзя записать никаким образом, но можно записать алгоритм их получения.

Логика тут такая: допустим 10^80 мы записали. Можно записать другой вариант: 101010 - это уже больше. Такое циклическое возведение в степень называется "степенные башни", и понятно, что числа, которые можно записать таким способом, гораздо, гораздо больше, чем просто степенная запись. Но опять же, мы ограничены ~10^15 циклов, записанных в виде символов - больше ни в какое хранилище не влезет (про атомы вселенной забудем пока, будем реалистами). Впрочем тут уже можно не парится, все равно, фактически идет запись не числа, а алгоритма его получения. Среди таких алгоритмов есть те, которые растут гораздо быстрее, чем простое возведение в степень, например стрелки кнута. Такие гипероператоры, где добавление одного символа в нотацию увеличивает наше число в количество раз, которое попадает во вторую категорию больших чисел :) можно комбинировать, как это используется в числе Грэма. При этом наворачивается еще одна категория сложности - алгоритм есть, но его невозможно записать постадийно.

Как это? Довольно просто. То же число Грэма - это 64 стадийный алгоритм, в каждом из готорых используется количество операторов "стрелка кнута", равное числу, вычесленному на предыдущем этапе. На первом этапе это степенная башня из троек, в которой 7 триллионов возведений в степень 3. Т.е. число, никак не записываемое - ни точно, ни не точно. Мы не можем сказать, сколько стрелок кнута у нас будет на второй стадии алгоритма получения числа Грэма. Такая вот множественная невозможность.

Итого, у нас получились категории:

1. Числа, которые можно записать точно.
2. Записать можно, но не точно.
3. Записать нельзя, но можно записать алгоритм получения постадийно.
4. Записать алгоритм постадийно не получается, но можно записать в общем виде.

И все равно это очень далеко от бесконечности, увы....

Comments

( 75 comments — Leave a comment )
(Deleted comment)
tnenergy
Oct. 27th, 2015 06:35 am (UTC)
Re: Будет ли детализация пути от Тепловой энергии при си
Не понял вас.
funny_suslik
Oct. 26th, 2015 10:29 pm (UTC)
Бесконечносрёбы http://masterok.livejournal.com/2450257.html
tnenergy
Oct. 27th, 2015 06:50 am (UTC)
Да, у него лучше написано.
(no subject) - funny_suslik - Oct. 27th, 2015 07:58 am (UTC) - Expand
flat_area
Oct. 26th, 2015 10:36 pm (UTC)
А зачем нам числа, которые так велики, что превосходят любые явления происходящие во вселенной?
Тем более, зачем нам сверхбольшие числа, которые нельзя нигде использовать потому, что они обычными методами даже не записываются? Что уж говорить про операции с ними...
levgem
Oct. 27th, 2015 05:58 am (UTC)
что бы подсчитать бюджет ИТЭР-2
(no subject) - flat_area - Oct. 27th, 2015 10:35 am (UTC) - Expand
(no subject) - tnenergy - Oct. 27th, 2015 06:26 am (UTC) - Expand
(no subject) - w00dy - Oct. 27th, 2015 10:00 am (UTC) - Expand
(no subject) - flat_area - Oct. 27th, 2015 10:31 am (UTC) - Expand
(no subject) - w00dy - Oct. 27th, 2015 10:49 am (UTC) - Expand
(no subject) - flat_area - Oct. 27th, 2015 10:56 am (UTC) - Expand
(no subject) - w00dy - Oct. 27th, 2015 11:11 am (UTC) - Expand
flat_area
Oct. 26th, 2015 10:41 pm (UTC)
Я бы вот разделил числа на "числа" и "не числа".
Числа - то, что можно записать.
Нечисла - записать нельзя, но они есть. Например Пи, е, приближённо вычисляемые корни линейных и нелинейных уравнений и т. д.
sashman
Oct. 27th, 2015 04:52 am (UTC)
То есть — это не число?
(no subject) - ardelfi - Oct. 27th, 2015 05:02 am (UTC) - Expand
(no subject) - sashman - Oct. 27th, 2015 05:38 am (UTC) - Expand
(no subject) - ardelfi - Oct. 27th, 2015 05:45 am (UTC) - Expand
(no subject) - pewpewaction - Oct. 27th, 2015 06:30 am (UTC) - Expand
(no subject) - ardelfi - Oct. 27th, 2015 06:47 am (UTC) - Expand
(no subject) - pewpewaction - Oct. 27th, 2015 07:19 am (UTC) - Expand
(no subject) - ardelfi - Oct. 27th, 2015 07:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - flat_area - Oct. 27th, 2015 09:36 am (UTC) - Expand
(no subject) - w00dy - Oct. 27th, 2015 11:12 am (UTC) - Expand
alkach42
Oct. 26th, 2015 11:42 pm (UTC)
Вы упустили из вида иррациональные числа. Они вовсе не такие уж и большие, но записать их - не хватит атомов Вселенной. Во как. Квадратура круга, число пи...
sashman
Oct. 27th, 2015 04:48 am (UTC)
вы хотели сказать, невозможно точно записать их десятичное представление.
(no subject) - alkach42 - Oct. 27th, 2015 05:32 am (UTC) - Expand
(no subject) - sashman - Oct. 27th, 2015 05:37 am (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 27th, 2015 05:42 am (UTC) - Expand
(no subject) - sashman - Oct. 27th, 2015 05:44 am (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 27th, 2015 05:46 am (UTC) - Expand
(no subject) - sashman - Oct. 27th, 2015 05:55 am (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 27th, 2015 06:05 am (UTC) - Expand
Истинно глаголете - sashman - Oct. 27th, 2015 06:13 am (UTC) - Expand
(no subject) - Юрий Бахвалов - Oct. 28th, 2015 12:28 pm (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 28th, 2015 10:06 pm (UTC) - Expand
(no subject) - Юрий Бахвалов - Oct. 29th, 2015 07:33 am (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 29th, 2015 11:53 am (UTC) - Expand
(no subject) - tnenergy - Oct. 27th, 2015 06:27 am (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 27th, 2015 07:08 am (UTC) - Expand
(no subject) - Юрий Бахвалов - Oct. 28th, 2015 01:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 28th, 2015 10:10 pm (UTC) - Expand
(no subject) - Юрий Бахвалов - Oct. 29th, 2015 08:18 am (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 29th, 2015 10:53 pm (UTC) - Expand
(no subject) - Юрий Бахвалов - Oct. 30th, 2015 08:15 am (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 30th, 2015 11:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - Юрий Бахвалов - Oct. 30th, 2015 01:07 pm (UTC) - Expand
(no subject) - Юрий Бахвалов - Oct. 30th, 2015 01:11 pm (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 30th, 2015 10:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 30th, 2015 10:13 pm (UTC) - Expand
(no subject) - alkach42 - Oct. 30th, 2015 10:38 pm (UTC) - Expand
(no subject) - Юрий Бахвалов - Nov. 2nd, 2015 07:35 am (UTC) - Expand
(no subject) - Юрий Бахвалов - Oct. 30th, 2015 08:23 am (UTC) - Expand
ardelfi
Oct. 27th, 2015 12:24 am (UTC)
Есть ещё 0/0 -- вообще "не определено", записывать нечего, конец Матрицы. :)
sashman
Oct. 27th, 2015 04:45 am (UTC)
товарищ Лопиталь с вами категорически не согласен
(no subject) - ardelfi - Oct. 27th, 2015 04:57 am (UTC) - Expand
(no subject) - sashman - Oct. 27th, 2015 05:35 am (UTC) - Expand
(no subject) - ardelfi - Oct. 27th, 2015 05:48 am (UTC) - Expand
(no subject) - sashman - Oct. 27th, 2015 05:54 am (UTC) - Expand
(no subject) - levgem - Oct. 27th, 2015 05:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - sashman - Oct. 27th, 2015 05:53 am (UTC) - Expand
mik
Oct. 27th, 2015 01:27 am (UTC)
Разве не всё, что можно сформулировать, одинаково далеко от бесконечности?
∞-whatever=∞

Edited at 2015-10-27 01:29 am (UTC)
levgem
Oct. 27th, 2015 05:52 am (UTC)
термин «далеко от бесконечности» лишен смысла, потому что нет такого расстояния.
(no subject) - alkach42 - Oct. 27th, 2015 06:09 am (UTC) - Expand
(no subject) - tnenergy - Oct. 27th, 2015 06:33 am (UTC) - Expand
(no subject) - mik - Oct. 27th, 2015 12:01 pm (UTC) - Expand
dariez_navej
Oct. 27th, 2015 06:21 am (UTC)

А когда доберетесь до бесконечностей, окажется, что у них разная плотность!))

andrej_kraft
Oct. 27th, 2015 10:26 am (UTC)
Внезапно, этот пост вызвал комментариев на порядок больше, чем обычно)))
siron_nsk
Oct. 27th, 2015 11:55 am (UTC)
Это ОЧЕНЬ краткий перевод поста про число Грэхэма на waitbutwhy)
tnenergy
Oct. 27th, 2015 12:11 pm (UTC)
Ну вон выше уже дали ссылку на пост Мастерка, где все расписано гораздо более подробно.

А мой пост не про число Грэма, а про категории больших чисел.
buddhistmind
Oct. 27th, 2015 02:50 pm (UTC)
не понимаю, зачем говорить о "числе атомов" и т.д. Математические объекты - психологическая реальность, а не физическая. Можно и на одном атоме условно насчитать 10 в 80-й степени мест и частей. Т.е. всё это метафоры и эмоции, а точного ничего нет.

Ещё, на мой взгляд, бесконечность - чрезвычайно проблематичная категория. (Внятного) физического смысла у неё нет. Психологический смысл её очень проблематичен: как во всем, во всех своих действиях и операциях, конечный и чрезвычайно слабый человеческий ум вдруг замахивается на "бесконечность", хотя не способен её объять, развернуть и промыслить, т.е. не знает в действительности, есть ли она, или это просто такое смутное чувство\ощущение\эмоция? Всё, на что он способен - выдавить из себя только "очень много для меня! незнамо скоко!"... Для плазменного ракоскорпиона размером с солнечную систему, обитающего где-то на задворках Вселенной, это вообще ничто.
tnenergy
Oct. 27th, 2015 08:21 pm (UTC)
>не понимаю, зачем говорить о "числе атомов" и т.д. Математические объекты - психологическая реальность, а не физическая.

Спорное утверждение. Для того, что бы я это утверждение прочитал, множество компьютеров перемололи множество математических объектов.

>Психологический смысл её очень проблематичен: как во всем, во всех своих действиях и операциях, конечный и чрезвычайно слабый человеческий ум вдруг замахивается на "бесконечность", хотя не способен её объять, развернуть и промыслить, т.е. не знает в действительности, есть ли она, или это просто такое смутное чувство\ощущение\эмоция?

Ужас. А комплексные числа у вас не вызывают таких ощущений? А трансцендентное число Пи?

>Всё, на что он способен - выдавить из себя только "очень много для меня! незнамо скоко!"...

Вообще-то нет. Вы к математике подходите не с той стороны. Математические объекты становятся человеческим инструментом не как какие-нибудь камни (через ощущение формы и веса) - а через решение задач с этими объектами.
vkorehovisback
Oct. 27th, 2015 07:44 pm (UTC)
и самый главный вопрос, какое у всего этого применение?
tnenergy
Oct. 27th, 2015 08:09 pm (UTC)
Ну, как раз на математиков грех жаловаться - самый дешевый способ получить новые знания, которые потом вдруг могут быть оказаться весьма востребованы. Тем более более сегодня, когда применения а-ля deep learning с рынком в миллиарды долларов появляются каждые лет 5.

tr1gger
Oct. 29th, 2015 07:25 am (UTC)
Вы видимо не знаете об ординалах, нам их на "введение в математику" рассказывали.
Ординал ε0 = ωωω... настолько большой (но всё ещё счётный), что для него нет статьи на русском, только на английском Epsilon numbers

А вообще 123, 10, 3 -- это всё разные записи чисел в десятичной форме. А числа -- они сами по себе. Большая Советская Энциклопедия уклончиво определяет его как "математическое понятие ... используемое для счёта и измерения". То есть определяет "число" через "число".
Математики таким не страдают, и для понятия числа используют обычно либо кардиналы, либо ординалы.

Edited at 2015-10-29 07:27 am (UTC)
( 75 comments — Leave a comment )

Profile

tnenergy
Ядерная энергия

Latest Month

October 2017
S M T W T F S
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031    
Powered by LiveJournal.com